失業保険の受給についての質問なのですが。自己都合でもいろいろあるのでハローワークで聞いてみてください。

自己都合退職による失業保険支給期間に就職が決まった場合はどうなるのでしょうか…？
5月末で自己都合（という名目）で勤めていた会社を退職させられた友人がいます。
雇用保険は5～10年の範囲で納めており、年齢は36歳です。
再就職の意思はあるのですが、貯金が少なく、支給期間内に就職先が確定した場合の
失業保険の支給有無についてとても心配しております。

上記の条件ですと、恐らく90日間の待機期間の後90日間の支給となるのが通例と思いますが、
例えば、以下のようなケースの場合はどうなりますでしょうか。
例１：就職先が見つかり、45日目から勤務開始
例２：〃、120日目から勤務開始

予備知識が全く無く困っております。
どなたかご存知の方ご教示お願いできませんでしょうか。
宜しくお願い致します。

自己都合退職の場合・・・・・失業保険の申請の手続き後7日間の待機（仕事をしていない状態）が過ぎ、最初の1カ月間はハローワークの求人で採用されないと再就職手当は支給されないと思います。
2か月目からはそれ以外の求人への応募採用でも再就職手当の対象になるはずです。
自己都合でもいろいろあるのでハローワークで聞いてみてください。

失業保険の受給についての質問なのですが。
次回の認定日(３月２９日)で失業保険の受給が最後になります。

ちなみに前回の認定が３月１日で残りの支給の残日数が『２０日』なので３月２０日に支給期間が終わるって事ですよね？

ココで質問なのですが…残日数を消化した日から最後の認定の間に就職とか決まって働いた場合って、最後の２０日分の
お金って貰えるのでしょうか？

失業給付金は、あくまでも「求職者である状態」の時に受給できるものです。
よって、３月２０日が支給期間終了日であったとし、３月１９日より仕事に就いた場合は、１８日までが受給できる日になります。

また、基本手当の受給資格のある方が安定した職業に就いた場合（雇用保険の被保険者となる場合や、事業主となって、雇用保険の被保険者を雇用する場合など）に基本手当の支給残日数（就職日の前日までの失業の認定を受けた後の残りの日数）が所定給付日数の3分の1以上あり、一定の要件に該当する場合に支給されます。
支給額は「所定給付日数の支給残日数×40％（または50％）×基本手当日額」となります。

但し、給付制限3ヶ月間（自己都合退職者等）の最初の1ヶ月間内での就職の場合は、安定所または職業紹介事業者の紹介で就職したものでないと支給対象にならない等いくつかの条件があります。

給付率は、基本手当の支給残日数により異なります。

所定給付日数の3分の2以上である場合・・・50％
所定給付日数の3分の1以上である場合・・・40％

失業保険について
五月末に会社をやめ現在無職です。
離職票が出来上がるのを待ってる状態なのですが
会社に聞いたところあと半月（6月下旬）はかかるのではないかと・・・・。
そこで短期のアルバイトと思い7月初旬までのバイト（週20時間以内に抑えて）をしようと思ったのですが
調べた所、失業保険の手続きをすると七日間就労ができないとのことで。
この場合、先に離職票をもらえても七月初旬のバイト期限まで働いてから
失業保険の手続きを開始しても問題ないでしょうか？

問題ないですよ。

失業給付金の申請は、
離職票を提出してから、
自己都合退職の場合、
7日の待機期間➕3ヶ月の受給制限期間の後に、受給開始期間にはいりますので、申請前に働いた分に関しては問題ありません。
申請した後に働いた分に関しては
きちんと申告して下さいね。

失業給付金は、退職されてから1年以内に給付日数を貰い終わるようにして下さいね。